РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527584 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 273

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате минус 3x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 17x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка .$

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

$17x минус 20 минус 3x в квадрате = левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка больше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$

Очевидно, при таких x имеем $2x в квадрате минус 3x=x левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка больше 0$ и $дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0.$ Еще нужно обеспечить $дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби не равно 1,$ то есть

$3x минус 4 не равно x плюс 1 равносильно 2x не равно 5 равносильно x не равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Итак, ОДЗ будет $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$ Рационализируем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 3x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 17x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 3x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 17x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 3x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 17x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус 3x минус левая круглая скобка 17x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 3x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 5x в квадрате минус 20x плюс 20, знаменатель: дробь: числитель: 2x минус 5, знаменатель: x плюс 1 конец дроби конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x минус 5 конец дроби больше или равно 0\undersetпосколькуx плюс 1 больше 0\mathop равносильно x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .$

C учетом ОДЗ получаем: $x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527584

$x принадлежит левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;4 правая круглая скобка .$