РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 527574 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 271

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

а)  Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр десятичной записи которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б)  Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр десятичной записи которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в)  Найдите все такие четырёхзначные числа, произведение цифр десятичной записи которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение. а)  Подходит, например, 5523.

б)  Если произведение цифр кратно $175=5 в квадрате умножить на 7,$ то среди цифр обязаны быть 5, 5, 7 (цифры 0, разумеется, быть не может). Значит, это цифры 5, 5, 7, x, причем $175x=175 левая круглая скобка x плюс 17 правая круглая скобка .$ Очевидно это невозможно.

в)  По тем же причинам среди цифр обязаны быть две пятерки. Обозначим остальные цифры за x и y. Тогда:

$25xy=50 левая круглая скобка 10 плюс x плюс y правая круглая скобка равносильно xy=20 плюс 2x плюс 2y равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка =24.$

Поэтому $x минус 2$ и $y минус 2$ могут быть равны только 6 и 4 (поскольку $x минус 2,y минус 2 меньше или равно 9 минус 2=7,$ а число 24 не раскладывается по-другому на два множителя, меньших 7). Значит, остальные цифры это 8 и 6. Подходят все перестановки этих цифр.

Ответ: а) 5523; б) нет; в) 5568, 5586, 5658, 5856, 5685, 5865, 6558, 8556, 6585, 8565, 6855, 8655.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 5523; б) нет; в) 5568, 5586, 5658, 5856, 5685, 5865, 6558, 8556, 6585, 8565, 6855, 8655.

527574

а) 5523; б) нет; в) 5568, 5586, 5658, 5856, 5685, 5865, 6558, 8556, 6585, 8565, 6855, 8655.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 271

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527574	а) 5523; б) нет; в) 5568, 5586, 5658, 5856, 5685, 5865, 6558, 8556, 6585, 8565, 6855, 8655.