РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно потратить не более 140 руб. Тетрадь в клетку стоит 3 руб., тетрадь в линейку  — 2 руб. При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в линейку более, чем на 9. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество тетрадей, при этом тетрадей в линейку нужно закупить как можно меньше. Сколько тетрадей в клетку и сколько тетрадей в линейку можно закупить при указанных условиях?

Решение. Пусть куплено x тетрадей в клетку и y тетрадей в линейку. Тогда $3x плюс 2y меньше или равно 140,$ $|x минус y| меньше или равно 9,$ при этом нужно, чтобы $x плюс y$ было как можно больше, а при нескольких вариантах с равным $x плюс y$ число y должно быть как можно меньше.

Возьмем любой способ купить тетради и заменим в нем одну тетрадь в линейку на тетрадь в клетку. От этого станет только лучше, если не нарушатся условия. Значит, в оптимальной схеме покупки либо $3x плюс 2y=140,$ либо $x минус y=9,$ либо $x минус y=8.$

Если $x минус y=8,$ то $x=y плюс 8,$ $3 левая круглая скобка y плюс 8 правая круглая скобка плюс 2y меньше или равно 140,$ $5y меньше или равно 116,$ $y меньше или равно 23.$ Итак, из таких вариантов самый лучший  — купить 23 тетради в линейку и 31 тетрадь в клетку, итого 54 тетради.

Если $x минус y=9,$ то $x=y плюс 9,$ $3 левая круглая скобка y плюс 9 правая круглая скобка плюс 2y меньше или равно 140,$ $5y меньше или равно 113,$ $y меньше или равно 22.$ Итак, из таких вариантов самый лучший  — купить 22 тетради в линейку и 31 тетрадь в клетку, итого 53 тетради.

Наконец, если $3x плюс 2y=140,$ то $2y=140 минус 3x,$ $18 больше или равно 2|x минус y|=|2x минус 2y|=|5x минус 140|,$ откуда $5x принадлежит левая квадратная скобка 122,158 правая квадратная скобка ,$ $x принадлежит левая квадратная скобка 25;31 правая квадратная скобка .$ Кроме того, x четно, поскольку $3x=140 минус 2y$   — четное число. Значит, $x=26$ и $y=31,$ или $x=28$ и $y=28,$ или $x=30$ и $y=25.$ Из этих вариантов самый лучший первый, он дает 57 тетрадей.

Итак, общее количество тетрадей равно 57. Если тетрадей в линейку купить меньше, чем 31, то сумма за всю покупку будет не меньше $3 умножить на 57 минус 30=141$ рубль, что запрещено по условию.

Ответ: 26 тетрадей в клетку, 31 в линейку.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527544	26 тетрадей в клетку, 31 в линейку.

Ключ