РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527542 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 16 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 5x минус 4 правая круглая скобка больше 3.$

Решение. Найдем ОДЗ неравенства.

$система выражений x минус 1 больше 0,4 минус x больше 0,x минус 1 не равно 1,4 минус x не равно 1,x в квадрате минус 8x плюс 16= левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате больше 0, минус x в квадрате плюс 5x минус 4= левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка больше 0. конец системы .$

Первые два неравенства дают $x принадлежит левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка ,$ последние два выполняются тогда автоматически. Кроме того $x не равно 2,3.$ Итак, $x принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$ Преобразуем неравенство и рационализируем его:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 2 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше 2 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно x принадлежит левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527542

$левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527542	$левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка .$