PDF-версии: 
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство
имеет хотя бы одно целочисленное решение 
Решение. Выберем в качестве x и y результаты округления 
и 
до ближайшего целого. Тогда 
и 
Если хоть одно из неравенств строгое, то сумма квадратов меньше чем 
и нужная точка найдена. Если же оба неравенства обращаются в равенства, то оба числа и — полуцелые. Тогда оба модуля при любом выборе x и y будут не меньше 
и сумма квадратов окажется не меньше 
Итак, вопрос можно переформулировать так — при каких b не найдется такого a, чтобы и и были полуцелыми. Если они оба полуцелые, то при вычитании второго из утроенного первого получится целое число. Итак, если 
не целое, то все в порядке. Если же оно целое, то подобрать неподходящее a можно. В зависимости от дробной части b, это делается так:
− 0: 
− 
− 
− 
− 
Ответ: b любое, кроме тех, для которых — целое.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
— целое. — целое.