РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527444 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 261

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \leqslant1.$

Решение. Сразу отметим, что $дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби больше 0,$ то есть $x больше минус 7,$ $дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби больше 0,$ то есть $x меньше 1$ или $x больше 4$ и $дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби не равно 1,$ то есть $x не равно 7.$ Итого ОДЗ неравенства будет $левая круглая скобка минус 7;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 7; бесконечность правая круглая скобка .$

Теперь преобразуем неравенство и рационализируем его:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0$

$дробь: числитель: x плюс 7 минус дробь: числитель: 6x минус 6, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 2x минус 8 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 6x минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 минус левая круглая скобка 2x минус 8 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус 50, знаменатель: 7 минус x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая квадратная скобка минус 5;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 7; бесконечность правая круглая скобка .$

Учитывая ОДЗ, окончательно получаем $x принадлежит левая квадратная скобка минус 5;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 7; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка минус 5;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 7; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527444

$x принадлежит левая квадратная скобка минус 5;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 7; бесконечность правая круглая скобка .$