РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527442 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 261

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения;

2.2.9 Метод интервалов.

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка =3 косинус левая круглая скобка 2 Пи x правая круглая скобка плюс 3 синус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Преобразуем уравнение:

$косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка =3 косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка равносильно косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =0.$ $равносильно косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка =3 косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =0.$

Поэтому либо

$косинус Пи x=0 равносильно Пи x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k,$ $k принадлежит Z ,$

либо

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 16x минус 7 минус 4x в квадрате правая круглая скобка =3 равносильно 16x минус 4x в квадрате минус 7=27 равносильно 4x в квадрате минус 16x плюс 34=0,$

$D=16 в квадрате минус 16 умножить на 34 меньше 0.$

Кроме того, $16x минус 7 минус 4x в квадрате$ должно быть положительно, иначе логарифм не определен. Значит,

$4x в квадрате минус 16x плюс 7 меньше 0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка меньше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$

поэтому из первого набор подходят лишь $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Имеем: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше Пи ,$ поэтому подходит только $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527442

а) $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 261

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527442	а) $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$