PDF-версии: 
Дан треугольник ABC, в котором 
медиана 
На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что 
Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.
а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.
б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.
Решение. По формуле для медианы имеем
откуда 
Обозначим за T точку пересечения прямой l с AB.
а) По свойству биссектрисы
то есть 
Поскольку прямая l параллельна прямой BC, треугольники BEC и TEF подобны с коэффициентом
поэтому 
и 
Поэтому расстояние между l и AB равно 
высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Эта высота равна
Найдем теперь радиус описанной окружности треугольника:
Обозначим центр окружности за O. Тогда треугольник OBC — равнобедренный. Найдем его высоту:
Расстояние до прямой l будет меньше на величину, равную расстоянию между прямыми, которое мы уже нашли. Именно меньше, поскольку центр описанной окружности лежит на луче, проходящем через B и перпендикулярно пересекающем AC. Таким образом, получаем:
б) Поскольку прямая l отсекает треугольник, подобный ABC с коэффициентом
то площадь этого треугольника составляет 
от площади исходного треугольника, а площадь второй части тогда — 
от нее. Отношение получается 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)