РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527363 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения.

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 4 косинус x минус косинус 2x конец аргумента =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Обозначая $t= косинус x$ и пользуясь формулой двойного угла, получим:

$t корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 4t минус левая круглая скобка 2t в квадрате минус 1 правая круглая скобка конец аргумента =0 равносильно t корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4t минус 2t в квадрате плюс 1 конец аргумента равносильно$

$равносильно 10t в квадрате =4t минус 2t в квадрате плюс 1 равносильно 12t в квадрате минус 4t минус 1=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6t плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус посторонний корень,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Следовательно,

$косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше $2 Пи$ и занимает поэтому больше целого оборота на круге.

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527363

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$