РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527356 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254

Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка косинус x плюс 3 корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате x конец аргумента правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Поскольку $корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате x конец аргумента =| косинус x|,$ получаем два варианта.

При $косинус x больше или равно 0$ имеем

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

Обозначая $t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка ,$ имеем:

$3t в квадрате плюс 11t минус 34=0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t плюс 17 правая круглая скобка =0 равносильно t=2,$

то есть

$2 косинус x=1 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,$

или $t= минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби ,$ что невозможно.

При $косинус x меньше 0$ имеем

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус 2 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

Обозначая $t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка ,$ имеем:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: t конец дроби плюс 11t минус 34=0 равносильно 11t в квадрате минус 34t плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 11t минус 1 правая круглая скобка равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби ,$

то есть

$2 косинус x= минус логарифм по основанию 2 11 равносильно косинус x= минус логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента меньше минус 1,$

или $t=3$ (то есть $2 косинус x= логарифм по основанию 2 3 равносильно косинус x= логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 0$ ), поэтому для этого случая решений нет.

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527356

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$