PDF-версии: 
Правильная треугольная призма 
пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер AB, 
Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна 
а) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
б) Найдите площадь сечения.
Решение. Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AB, перпендикуляра к AB в плоскости основания,
Тогда координаты вершин будут такими — 
где 
Середины указанных в условии ребер будут иметь координаты 
Допустим, уравнение плоскости, проходящей через них, это 
Подставляя эти точки, получаем:
Пусть, например, 
Тогда из последнего уравнения 
а из второго: 
Итак, уравнение плоскости имеет вид:
а) Найдем по формуле косинус угла между этой плоскостью и плоскостью основания 
Значит, угол равен 
б) Найдем точки пересечения плоскости с ребрами AC и 
Координаты точек на AC удовлетворяют условиям 
и 
Подставляя эти данные в уравнение плоскости, получим 
то есть 
Аналогично, координаты точек на 
удовлетворяют условиям 
Подставляя эти данные в уравнение плоскости, получим 
то есть 
Если соединить полученные пять точек — получим сечение призмы. Его проекция на плоскость основания — тоже пятиугольник (см. рис. 2). Его площадь можно найти, вычитая из площади треугольника площади двух маленьких треугольников. Их площади, в свою очередь, легко найти, поскольку они имеют угол 
а их стороны, прилегающие к этому углу, нам известны. Имеем:
По теореме о площади фигуры и площади проекции площадь сечения равна 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
б) б)