РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Последовательность (a_n) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый следующий член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше него на 90.

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?

б)  Чему может быть равно а₁₀₀, если a₁  =  89?

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел в такой последовательности?

Решение. а)  Например, последовательность 270, 360, 180, 90, 180, 90, ... удовлетворяет условиям задачи и образована ровно четырьмя различными числами.

б)  Заметим, что если в последовательности присутствует нечётное число, то следующее за ним должно быть на 90 больше. Таким образом, если а₁  =  89, то все числа в последовательности нечётные и

$a_100=а_1 плюс 99 умножить на 90 = 89 плюс 99 умножить на 90 = 8999.$

в)  Последовательность 96, 48, 24, 12, 6, 96, 48, 24, 12, 6, ... удовлетворяет условиям задачи, а самое большое число в ней равно 96.

Покажем, что самое большое число в последовательности, удовлетворяющей условиям задачи, не может быть меньше 96. Предположим, что все числа в последовательности меньше 96. Заметим, что если прибавить 90 к числу, не меньшему 6, то получится число, не меньшее 96. Таким образом, в последовательности после каждого числа а, не меньшего 6, следует число $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$

Предположим, что a_i нечётное. Тогда $a_i плюс 2 =a_i плюс 180 больше 96.$ Следовательно, при $i меньше 98$ число a_i чётное.

Рассмотрим наименьшее k, для которого $a_k меньше 6.$ Заметим, что $k\leqslant7,$ поскольку $а_1=2 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка умножить на a_k.$ Разберём случаи различных значений a_k. Поскольку $k плюс 20 \leqslant27 меньше 98,$ будем рассматривать только случаи, когда числа $a_k,...,a_k плюс 20$ чётные.

Если $a_k = 2,$ получаем $a_k плюс 1=92,$ $a_k плюс 2=46,$ $a_k плюс 3=136.$ То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96.

Если $a_k =4,$ то $a_k плюс 1 =2,$ что было разобрано ранее, или получаем $a_k плюс 1 =94,$ $a_k плюс 2=184.$ То есть в этом случае в последовательности найдётся число, большее 96.

Таким образом, самое большое число в последовательности не может быть меньше 96.

Ответ: а) да; б) 8999; в) 96.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527270	а) да; б) 8999; в) 96.

Ключ