РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527239 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 246

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию 8 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби .$

Решение. Сразу отметим, что $x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $\left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | больше 0$ (то есть $x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$ ) и $\left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | не равно 1$ (то есть $x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x не равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ При этих условиях преобразуем неравенство и рационализируем его.

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | конец дроби больше 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | конец дроби больше 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби |} больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | плюс 2 логарифм по основанию 2 в квадрате \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби |, знаменатель: логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x минус \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x минус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: \left|2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби | минус 1 конец дроби$ $больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x минус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1 в квадрате конец дроби больше 0\underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4x в квадрате минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка конец дроби больше 0\underset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно x левая круглая скобка 4x в квадрате плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка меньше 0\underset левая круглая скобка *** правая круглая скобка \mathop равносильно$

$равносильно x левая круглая скобка 36x в квадрате плюс 21x минус 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно x левая круглая скобка 12x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка меньше 0.$

В (*) с первой скобкой можно так поступать, поскольку $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус x правая круглая скобка больше 0.$ В (**) сокращать можно, поскольку $x не равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ В (***) знаменатель предыдущего неравенства отрицателен.

Решая методом интервалов, получим $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .$ Все эти ответы удовлетворяют наложенным изначально ограничениям.

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527239

$x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .$