РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527237 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 246

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 3 плюс косинус 4x минус 8 косинус в степени 4 x, знаменатель: 4 левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2;5 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение

$дробь: числитель: 3 плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 1 минус 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно дробь: числитель: минус 4 косинус 2x, знаменатель: 4 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: синус в квадрате x минус косинус в квадрате x, знаменатель: левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно синус x минус косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно синус в квадрате x минус синус x косинус x=1 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: синус в квадрате x минус косинус в квадрате x, знаменатель: левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно$
$равносильно синус x минус косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби равносильно синус в квадрате x минус синус x косинус x=1 равносильно$

$равносильно синус в квадрате x минус синус x косинус x= синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x равносильно синус x косинус x= минус косинус в квадрате x равносильно косинус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.$ $равносильно синус в квадрате x минус синус x косинус x= синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус x косинус x= минус косинус в квадрате x равносильно косинус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0.$

Поэтому либо $косинус x=0,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ либо $синус x плюс косинус x=0,$ что невозможно, поскольку выражение $синус x плюс косинус x$ есть в знаменателе в исходном уравнении. Все $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k$ подходят, поскольку не обнуляют знаменатели в исходном уравнении.

б)  Поскольку $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 2 меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 5 меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ на указанном промежутке лежит $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527237

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 246

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527237	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$