РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527219 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби логарифм по основанию 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка больше 1.$

Решение. Преобразуем неравенство и рационализируем его. Отметим сразу, что $x не равно 0$ и $дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 0,$ то есть $7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус x меньше логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 4 ,$ $x больше минус логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 9, знаменатель: 4 = логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 9 .$ Имеем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби минус 1 больше 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус x, знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 7 в степени x , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 7 в степени x , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 9 умножить на 7 в степени x минус 4 минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 умножить на 7 в степени x x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 9 умножить на 7 в степени x минус 4 минус 2 умножить на 7 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0.$

Если обозначить $t=7 в степени x ,$ то выражение сверху будет равно $минус 2t в квадрате плюс 9t минус 4= минус левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка .$ Имеем:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 7 в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 7 в степени x минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби меньше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка .$

Учитывая ограничение $x больше логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 9 ,$ получаем окончательно $x принадлежит левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 9 ; логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 9 ; логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527219

$x принадлежит левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 9 ; логарифм по основанию целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; логарифм по основанию 7 4 правая круглая скобка .$