PDF-версии: 
Найдите все значения параметра α, −π < α < π, при которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение. Если изобразить на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют первому уравнению, получится окружность радиуса 2 с центром в начале координат (из-за первой скобки) и парабола с ветвями, направленными вправо, с вершиной в точке 
C окружностью она не пересекается.
Второе уравнение задает прямую (оно линейное), касающуюся изображенной окружности (поскольку расстояние от начала координат до этой прямой равно 
радиусу окружности). Поэтому необходимо и достаточно, чтобы прямая имела с параболой две общие точки. Выясним, когда это происходит. Очевидно, если прямая вертикальна и касается окружности, то она вообще не пересекает параболу, а если горизонтальна — то параллельна оси параболы и имеет лишь одну общую точку. Выразим из уравнения прямой x и подставим в уравнение параболы.
Дискриминант этого уравнения должен быть положителен, то есть:
Для 
косинус монотонно убывает, поэтому подходят 
Поскольку косинус четен, подходят также противоположные значения, лежащие на 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |