РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 527174 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 240

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,7.

а)  Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?

б)  Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика, если среди этих отметок есть отметка «1»?

в)  Учитель заменил четыре отметки «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4». На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок ученика после такой замены?

Решение. а)  Поскольку его среднее оказалось равно $дробь: числитель: 47, знаменатель: 10 конец дроби ,$ он имел не менее десяти оценок. Если у него было девять пятерок и двойка, то все в порядке.

б)  При десяти оценках, одна изкоторых единица, сумма будет не более $1 плюс 9 умножить на 5=46 меньше 47.$ Для двадцати оценок (промежуточные количества не смогут дать дробь со знаменателем 10) есть пример $1 плюс 3 плюс 18 умножить на 5=94=20 умножить на 4,7.$

в)  Пусть у него было $10n$ оценок с суммой $47n$ (очевидно число оценок кратно 10). Станет $10n минус 2$ оценки с суммой $47n минус 8,$ поэтому среднее вырастет на

$дробь: числитель: 47n минус 8, знаменатель: 10n минус 2 конец дроби минус 4,7= дробь: числитель: 47n минус 8 минус 47n плюс 9,4, знаменатель: 10n минус 2 конец дроби = дробь: числитель: 1,4, знаменатель: 10n минус 2 конец дроби .$

Это число убывает с ростом n.

Взять $n=1$ нельзя, поскольку даже максимальные оценки, содержащие две тройки, дают сумму $2 умножить на 3 плюс 8 умножить на 5=46 меньше 47.$

Взять $n=2$ можно, например для набора из трех троек и семнадцати пятерок будет сумма $3 плюс 3 плюс 3 плюс 17 умножить на 5=94=20 умножить на 4,7.$ Поэтому наиболшее увеличение составит $дробь: числитель: 1,4, знаменатель: 20 минус 2 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 90 конец дроби .$

Ответ: а) 10; б) 20; в) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 90 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 10; б) 20; в) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 90 конец дроби .$

527174

а) 10; б) 20; в) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 90 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 240

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527174	а) 10; б) 20; в) $дробь: числитель: 7, знаменатель: 90 конец дроби .$