РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 526922 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198

Классификатор стереометрии: Объем тела, Описанный шар, Прямая призма, Шар

Сложная стереометрия. Круглые тела

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором $AB=AC.$

а)  Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ составляет $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ объема призмы.

б)  Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды $A_1BCC_1B_1,$ если известно, что $AB=5,$ $BC=6,$ $AA_1=15.$

Решение. а)  Имеем:

$V_A_1BCC_1B_1=V_ABCA_1B_1C_1 минус V_A_1ABC=$

$=V_ABCA_1B_1C_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AA_1 умножить на S_ABC=$

$=V_ABCA_1B_1C_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1.$ $=V_ABCA_1B_1C_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1=$
$= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1.$

б)  Если центр этой сферы спроецировать на $B_1C_1CB,$ он попадет в центр грани. Тогда он лежит на прямой, соединяющей центр грани и перпендикулярной $AA_1,$ Значит, он равноудален от A и $A_1.$ Поэтому сфера описана на самом деле около призмы. Найдем сначала радиус описанной окружности $ABC:$

$R= дробь: числитель: AB умножить на BC умножить на AC, знаменатель: 4S_ABC конец дроби =$
$= дробь: числитель: 150, знаменатель: 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 150, знаменатель: 48 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби .$ $R= дробь: числитель: AB умножить на BC умножить на AC, знаменатель: 4S_ABC конец дроби =$
$= дробь: числитель: 150, знаменатель: 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 150, знаменатель: 48 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби .$

Соединим центры описанных окружностей оснований и возьмем середину отрезка между ними. Это и есть центр сферы, а ее радиус тогда равен:

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AA_1 в квадрате плюс R_ABC конец аргумента в квадрате = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 625, знаменатель: 64 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби корень из: начало аргумента: 144 плюс 25 конец аргумента = дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$ $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AA_1 в квадрате плюс R_ABC конец аргумента в квадрате = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 625, знаменатель: 64 конец дроби конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби корень из: начало аргумента: 144 плюс 25 конец аргумента = дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$ $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AA_1 в квадрате плюс R_ABC конец аргумента в квадрате =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 625, знаменатель: 64 конец дроби конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби корень из: начало аргумента: 144 плюс 25 конец аргумента = дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$

526922

$дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198

Классификатор стереометрии: Объем тела, Описанный шар, Прямая призма, Шар

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526922	$дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби .$