РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а)  Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рублей, если n  =  16?

б)  Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n  =  26?

в)  Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 96 рублей и n  =  19?

Решение. а)  Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет, 2 пятирублёвые моменты и 2 двухрублёвые монеты (9 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 3 двухрублёвые (7 монет).

б)  Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За сырок она заплатила либо 10 двухрублёвых монет, либо не более 7 монет. За компот Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно пятью двухрублёвыми, двумя пятирублёвыми или одной десятирублёвой монетой. Значит, за компот она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. За булочку Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 20 рублей можно десятью монетами или не более чем 7 монетами. То есть всего за булочку Аня отдала 11 или не более 8 монет. Пусть за сырок Аня заплатила не более 7 монет. Тогда всего она потратила не более, чем $7 плюс 6 плюс 11=24$ монеты. Противоречие. Пусть за компот Аня заплатила не более трех монет. Тогда всего она потратила не более, чем $10 плюс 3 плюс 11=24$ монеты. Противоречие. Пусть за булочку Аня заплатила не более 8 монет. Тогда всего она потратила не более, чем $10 плюс 6 плюс 8=24$ монеты. Значит, возможен только вариант, когда Аня заплатила за сырок 10 монет, за компот 6 монет, за булочку 11 монет. Но в таком случае общее количество монет равно 27, что тоже противоречит условию. Таким образом, ответ отрицательный.

в)  Аня потратила четное число пятирублевых монет, потому что иначе сумма, заплаченная двухрублевыми и десятирублевыми монетами была бы нечетна, а это невозможно. Пусть Аня не потратила ни одной пятирублевой монеты, x десятирублевыx и $19 минус x$ двухрублевых. Получим уравнение: $10x плюс 2 левая круглая скобка 19 минус x правая круглая скобка =96 равносильно 8x=58,$ целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 2 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и $17 минус x$ двухрублевых. Получим уравнение: $10 плюс 10x плюс 2 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка =96 равносильно 8x=52,$ целых решений оно не имеет. Пусть Аня потратила 4 пятирублевые монеты, x десятирублевыx и $15 минус x$ двухрублевых. Получим уравнение: $20 плюс 10x плюс 2 левая круглая скобка 15 минус x правая круглая скобка =96 равносильно 8x=46,$ целых решений оно не имеет.

Пусть Аня потратила 6 пятирублевых монет, x десятирублевыx и $13 минус x$ двухрублевых. Получим уравнение: $30 плюс 10x плюс 2 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка =96 равносильно 8x=40 равносильно x=5.$

Значит, Аня могла потратить 6 пятирублевых, 5 десятирублевых и 8 двухрублевых монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526901	а) да; б) нет; в) 6.

Ключ