PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно восемь решений.
Решение. При 
второе уравнение системы, а, значит, и вся система не имеют решений.
Если a = 0, то получаем систему 
которая имеет единственное решение 
Рассмотрим случай 
Имеем
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при
Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы 
(на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому 
При этом условии гипербола 
пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке — синие точки).
Еще четыре решения системы (на рисунке — красные точки) получаются при пересечении каждой из прямых гиперболой 
в двух различных точках. Для этого нужно, чтобы каждое из двух квадратных уравнений
или 
имело два различных корня. Дискриминанты этих уравнений должны быть положительны. Получаем:
Учитывая, что 
приходим к ответу.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек a = 1, и / или a =  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничной точкиИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гипербол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |