Решение. а) Пусть Петя в первый день решил x задач. Тогда в оставшиеся дни он решил x + 2, x + 4, x + 6, x + 8 задач. Всего в сборнике оказывается 5x + 20 задач. Вася в первый день решил x – 1 задачу. В следующие дни он решал x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, ... задач. За пять дней решить все задачи Вася не мог. Если Вася решил все задачи сборника за шесть дней, то он решил 6x + 9 задач. Уравнение 5x + 20 = 6x + 9 имеет решение x = 11. Таким образом, приведен пример, удовлетворяющий условию: Вася решил в первый день 10 задач, Петя — 11 задач.
б) Вновь обозначим за x число задач, решенных Петей в первый день. Тогда всего Петя решил 4x + 12 задач. Вася решал x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, ... задач. Если Вася решил все задачи сборника за четыре дня или менее, то он решил не более 4x + 10 задач. Но тогда Вася решил меньше задач, чем Петя. Противоречие. Если Вася решал задачи пять дней или более, то он решил как минимум 5x + 15 задач. Тогда Вася решил больше задач, чем Петя. Противоречие.
в) Петя решал задачи не менее семи дней. Начнем со случая, когда он решал задачи ровно семь дней.
Тогда в сборнике оказывается 7x + 42 задачи. Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил 7x + 28 задач. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 36 задач. Уравнение 7x + 42 = 8x + 36 имеет решение x = 6. За девять или более дней Вася бы решил как минимум 9x + 45 задач, что превосходит число задач в сборнике. Если Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, то вновь ему, очевидно, придется решать задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 20 задач, за девять дней 9x + 27 задач, за десять дней 10x + 35 задач, за большее число дней как минимум 11x + 44 задачи (что заведомо больше числа задач в сборнике). Уравнения 7x + 42 = 8x + 20, 7x + 42 = 9x + 27, 7x + 42 = 10x + 35 не имеют целых решений, меньших 6.
Таким образом, в случае, когда Петя решал задачи ровно семь дней, в сборнике не могло оказаться меньше 
задач (напомним, что такое могло быть, если Петя решил в первый день 6 задач, а Вася — 7, Петя решал задачи 7 дней, а Вася — 8).
Перейдем к случаям, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма 1 + 2 + ... + n: это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, ... (так называемые треугольные числа).
Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил 8x + 56 задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить x = 1, x = 2, x = 3.
При x = 1 задач в сборнике 
Вася в первый день решил 2 задачи, то есть всего Вася решил 2 + 3 + 4 + 5 + ... задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа на 1. Противоречие.
При x = 2 задач в сборнике 
Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, или быть меньше него на 1 + 2 = 3. Противоречие.
При x = 3 задач в сборнике 
Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или на 1, или на 1 + 2 + 3 = 6. Противоречие.
Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил 9x + 72 задач. Единственная подходящая возможность, чтобы задач в сборнике было меньше 84, это x = 1. Но тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть на 1 меньше треугольного числа. Противоречие.
Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум 10x + 90 задач, что заведомо больше 84.
Ответ: а) да; б) нет; в) 84.
PDF-версии: 