Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3.
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.
а) Пусть P — вершина, ABC — основание пирамиды, M — середина ребра PA = 2a. Пусть секущая плоскость пересекает рёбра BP и CP в точках E и F соответственно. Прямоугольные треугольники MPE и MPF равны по катету и острому углу, обозначим их равные гипотенузы PE = PF = x. Объём тетраэдра PMEF составляет
объёма пирамиды, что по условию равно 
объёма пирамиды. Отсюда 
и косинус плоского угла MPE при вершине равен 
поэтому 
б) Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды равны 45°, получаем, что ME = MF = 2. Из треугольника PEF по теореме косинусов
Высота MH равнобедренного треугольника MEF равна
Искомая площадь сечения 
Ответ:
Примечание.
Выше мы воспользовались тем, что объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся как произведения длин ребер, образующих эти углы.