СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 522149

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 8. Про­ти­во­по­лож­ные бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Через се­ре­ди­ны рёбер MA и MB про­ве­де­на плос­кость , па­рал­лель­ная ребру .

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние плос­ко­стью пи­ра­ми­ды MABC яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды MABC плос­ко­стью .

Решение.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, плоскость пересекает плоскость AMC по прямой, параллельной ребру MC. На этой прямой лежит средняя линия треугольника AMC, поэтому плоскость проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

 

 

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма QKLO равна

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 522123: 522149 Все