СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 522149

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость , параллельная ребру .

а) Докажите, что сечение плоскостью пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью .

Решение.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Так как плоскость α параллельна ребру MC, пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC и L — середина BC. Так как QK || AB плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средей линии, поэтому плоскость &\alpha; проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

 

 

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Таким образом, искомая площадь

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 522123: 522149 Все