РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521920 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 238

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Для членов последовательности целых чисел a₁, a₂,..., a₆ при всех натуральных $k\leqslant4$ имеет место неравенство $a_k плюс 2 меньше 3a_k плюс 1 минус 2a_k.$

а)  Приведите пример такой последовательности, для которой a₁  =  0 и a₆  =  10.

б)  Существует ли такая последовательность, для которой a₁  =  a₃  =  a₆?

в)  Какое наименьшее значение может принимать a₂, если a₁  =  0 и a₆  =  1000?

Решение. а)  Например $0,2,4,6,8,10.$

б)Отметим сразу, что если из всех членов последовательности вычесть одно и то же число, ее свойство сохранится. Поэтому будем считать, что $a_1=a_3=a_6=0.$ Итак, последовательность имеет вид $0,x,0,y,z,0$ и при этом

$0 меньше 3x,$ $y меньше минус 2x,$ $z меньше 3y,$ $0 меньше 3z минус 2y.$ Из первого неравенства $x больше 0,$ из второго тогда $y меньше 0,$ из третьего $z меньше 3y меньше 0$ и тогда $3z минус 2y меньше 9y минус 2y=7y меньше 0$   — противоречие с четвертым неравенством.

в)  Пусть наша последовательность имеет вид $0,x,y,z,t,1000.$ Тогда по условию

$y меньше 3x,$ $z меньше 3y минус 2x,$ $t меньше 3z минус 2y,$ $1000 меньше 3t минус 2z.$ То есть $y меньше или равно 3x минус 1,$ $z меньше или равно 3y минус 2x минус 1,$ $t меньше или равно 3z минус 2y минус 1,$ $1000 меньше или равно 3t минус 2z минус 1$

Тогда $1000 меньше или равно 3t минус 2z минус 1 меньше меньше или равно 3 левая круглая скобка 3z минус 2y минус 1 правая круглая скобка минус 2z минус 1=$
$=7z минус 6y минус 4 меньше или равно 7 левая круглая скобка 3y минус 2x минус 1 правая круглая скобка минус 6y минус 4=15y минус 14x минус 11 меньше или равно 31x минус 26,$ отсюда $x больше или равно 34.$ Если выбрать $x=34;y=101;z=234;t=499,$ то все в порядке.

Ответ: а) 0, 2, 4, 6, 8, 10; б) Нет; в) 34.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 0, 2, 4, 6, 8, 10; б) Нет; в) 34.

521920

а) 0, 2, 4, 6, 8, 10; б) Нет; в) 34.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 238

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521920	а) 0, 2, 4, 6, 8, 10; б) Нет; в) 34.