РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521815 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 234

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Прямоугольный параллелепипед, Сечение, проходящее через три точки

Сложная стереометрия. Многогранники

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  5, AD  =  6, AA₁  =  8, точка К  — середина ребра DD₁.

а)  Докажите, что прямые ВС и КС₁ перпендикулярны.

б)  Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС₁.

Решение. а)  Очевидно проекция $KC_1$ на плоскость нижнего основания  — прямая DC, перпендикулярная $BC.$ По теореме о трех перпендикулярах $KC_1\perp BC,$ что и требовалось.

б)  Пусть T  — середина AD, тогда $KT\parallel D_1A\parallel C_1B,$ поэтому $BC_1KT$   — сечение. Вычислим объем одной из частей по формуле для объема усеченной пирамиды.

$V_TDKBCC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CD левая круглая скобка S_BCC_1 плюс S_TKD плюс корень из: начало аргумента: S_BCC_1 конец аргумента S_TKD правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CD левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_BCC_1B_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби S_BCC_1B_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_BCC_1B_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби CD умножить на S_BCC1= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1,$ $= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CD левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_BCC_1B_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби S_BCC_1B_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_BCC_1B_1 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби CD умножить на S_BCC1= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1,$

поэтому отношение объемов $7:17.$ Размеры параллелепипеда в этой задаче неважны.

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

521815

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 234

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521815	$дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$