PDF-версии: 
Может ли произведение цифр натурального числа быть:
а) больше 126 и меньше 130?
б) больше 731 и меньше 736?
в) больше 887 и меньше 894.
В случае, если такие значения существуют, то в пункте «а» необходимо указать хотя бы одно значение, в пунктах «б» и «в» все значения.
Решение. Отметим сразу, что если к числу приписать единицу (в любое место), то его произведение цифр не изменится. Далее, если разложение некоторого числа на простые множители содержит множители большие 
то числа с таким произведением цифр существовать не может. В частности, если число больше единицы и не кратно 2, 3, 5, 7 — оно точно не подходит.
а) Подойдет, например, число 2222222.
б) 
кратно 
не кратно 
кратно 
поэтому оно возможно, например, для числа 
и любых перестановок его цифр. Поскольку 
объединить какие-то из этих множителей нельзя.
Пример таких чисел: 3577, 3757, 3775, 5377, 5737, 5773, 7357, 7375, 7537, 7573, 7735, 7753
в) 888 кратно 37, 889 кратно 127, 890 кратно 89, 891 кратно 11, 892 кратно 223, 893 не кратно 2, 3, 5, 7.
Ответ: а)Да, например 2222222, б) Да, например 3577, 3757, 3775, 5377, 5773, 5737, 7357, 7375, 7573, 7735, 7753, в) Нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |