PDF-версии: 
Найдите все а, при каждом из которых система
имеет ровно три решения.
Решение. Если поменять местами x и y, уравнения не изменятся. Значит, в одном из решений 
(иначе они все разбиваются на пары и их не три). Пусть в этом решении 
Тогда имеем 
и 
Складывая эти уравнения, находим 
Подставляя это во второе уравнение, получаем после преобразований уравнение 
с корнями 
и 
В первом случае 
во втором 
Теперь изучим эти варианты. Прибавим к первому уравнению системы второе, домноженное на 5. Получим 
Пусть 
При 
имеем 
или 
Подставляя это во второе уравнение системы, находим соответственно 
или 
Второе невозможно, а первое дает лишь один ответ 
(угадано по теореме Виета).
При 
имеем 
или 
Подставляя это во второе уравнение системы, находим соответственно 
или 
Первое дает лишь один ответ 
(угадано по теореме Виета).Второе дает два ответа, поскольку числа 
являются корнями квадратного уравнения 
у которого действительно есть два положительных различных корня.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |