PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Пусть 
Очевидно 
поэтому если новая система имеет решение, то и старая тоже (и наоборот). Тогда имеем систему
Второе уравнение дает: 
То есть 
Во-первых, это означает, что 
А во-вторых, выражая u из первого уравнения, находим 
Если у этого уравнения есть корень, то есть и решение у системы.
Функция 
четна и стремится к бесконечности при 
или при 
Остается лишь найти ее наименьшее значение на положительной полуоси. Для этого приравняем к нулю ее производную.
Поэтому необбходимо и достаточно, чтобы 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |