PDF-версии: 
а) Могут ли выполняться равенства 
где a1, a2, a3, a4 — целые числа?
б) Могут ли выполняться равенства 
где a1, a2,..., a6, a7 — целые числа?
в) При каком наименьшем номере 
могут выполняться равенства 
где a1, a2,..., an — целые числа?
Решение. а) Поскольку 
делится на 
но не на 
ровно один из множителей должен быть четным. Но тогда их сумма нечетна.
б) Если один из множителей равен 
то остальные равны 
причем положительных и отрицательных должно быть поровну (иначе сумма не сойдется), но тогда их по три и произведение отрицательно.
Если же таких множителей нет, то опять же из соображений четности должен быть ровно один четный множитель. Значит, он кратен 
Тогда не более трех множителей отличны от 
(у 
есть еще только простые множители 
и 
). Тогда сумма не превосходит 
в) Если один из множителей равен 
то, как и в пункте б) нужно брать поровну единиц и минус единиц, причем четное количество (иначе произведение не сойдется). В остальных случаях суммой 4 и меньшего числа слагаемых 
не набрать, поскольку оно раскладывается лишь как 
или 
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |