РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 521559 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 220

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники

Сложная планиметрия. Окружности

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй  — в точке N.

а)  Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно $дробь: числитель: MK умножить на KN, знаменатель: MN конец дроби .$

б)   Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.

Решение. Рассмотрим треугольник $MKN.$

$\angle MKN=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKO_2 минус \angle NKO_1=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MO_2K правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle NO_1K правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle MO_2K плюс \angle NO_1K правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle MKN=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKO_2 минус \angle NKO_1=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MO_2K правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle NO_1K правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle MO_2K плюс \angle NO_1K правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle MKN=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKO_2 минус \angle NKO_1=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MO_2K правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle NO_1K правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle MO_2K плюс \angle NO_1K правая круглая скобка =$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

поскольку $MO_2\parallel NO_1.$ Итак, этот треугольник прямоугольный, поэтому его высота, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (это следует из формул для площади треугольника).

б)  В прямоугольной трапеции $NO_1O_2M$ высота MN равна $корень из: начало аргумента: O_1O_2 в квадрате минус левая круглая скобка MO_2 минус NO_1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =12.$

Расстояние от K до стороны равно $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби O_1N плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби O_2M= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .$ Значит, площадь треугольника равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 12= дробь: числитель: 144, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 144, знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 144, знаменатель: 5 конец дроби .$

521559

$дробь: числитель: 144, знаменатель: 5 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 220

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521559	$дробь: числитель: 144, знаменатель: 5 конец дроби .$