РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521445 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 211

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Сложные задания на числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Числовая последовательность задана формулой общего члена: $a_n меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: n в квадрате плюс n конец дроби .$

а)  Найдите наименьшее значение n, при котором $a_n меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2017 конец дроби .$

б)  Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

в)  Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

Решение. а)  Поскольку $f левая круглая скобка n правая круглая скобка =n в квадрате плюс n$   — возрастающая функция при натуральных n и $f левая круглая скобка 44 правая круглая скобка меньше 2017 меньше f левая круглая скобка 45 правая круглая скобка ,$ имеем $a_1 больше a_2 больше \ldots больше a_44 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2017 конец дроби больше a_45.$ Ответ $n=45.$

б)  Поскольку $a_n= дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби ,$ то $a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби ,$ требуется чтобы $дробь: числитель: 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби меньше 0,01,$ откуда $n больше или равно 100.$ Ответ $n=100.$

в)  Если речь идет о бесконечной прогрессии  — очевидно это невозможно, поскольку все члены последовательности лежат в промежутке $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Трехчленные прогрессии возможны, например $a_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби , a_7= дробь: числитель: 1, знаменатель: 56 конец дроби , a_20= дробь: числитель: 1, знаменатель: 420 конец дроби$ образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: а) 45; б) 100; в) Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 56 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 420 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

521445

а) 45; б) 100; в) Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 56 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 420 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 211

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521445	а) 45; б) 100; в) Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 56 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 420 конец дроби .$