РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 521407 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 207

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка 9 конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию 3 корень из: начало аргумента: 2x минус 1 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Сразу отметим, что $x больше 1, x не равно 2.$ Приводя все логарифмы к основанию $3$ , получим $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Обозначая левую часть за t имеем $t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби ,$ откуда $t меньше минус 1$ или $t принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$

В первом случае имеем

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1 конец дроби меньше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус 3x, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Во втором случае поскольку $x больше 2$ (иначе $t меньше 0$ ) можно домножить на знаменатель

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка .$ Это верно.

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

521407

$x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 207

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521407	$x принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$