РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521399 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206

Методы геометрии: Теорема Менелая, Теорема менелая для тетраэдра

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Сечение, проходящее через три точки

Сложная стереометрия. Многогранники

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б)  Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Решение. а)  Продлим NK до пересечения с AC в точке $Q.$ Обозначим точку пересечения MQ и DC за $P.$ Тогда NKPM искомое сечение.

б)  Из теоремы Менелая для треугольника ABC: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: CQ, знаменатель: QA конец дроби =1.$ Откуда следует, что CQ  =  CA.

Из теоремы Менелая для треугольника ADC: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: DP, знаменатель: PC конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.$ Из чего следует, что DP : PC  =  3:1.

Ответ: 3:1.

Приведем другое решение пункта б).

Напомним теорему Менелая для тетраэдра: точки A, P, N и K, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда $дробь: числитель: CP, знаменатель: PD конец дроби умножить на дробь: числитель: DM, знаменатель: MA конец дроби умножить на дробь: числитель: AN, знаменатель: NB конец дроби умножить на дробь: числитель: BK, знаменатель: KC конец дроби =1.$

В нашем случае: $дробь: числитель: CP, знаменатель: PD конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби = 1,$ откуда $дробь: числитель: CP, знаменатель: PD конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 3:1.

521399

3:1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 206

Методы геометрии: Теорема Менелая, Теорема менелая для тетраэдра

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Сечение, проходящее через три точки

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521399	3:1.