PDF-версии: 
Дана прямая призма АВСA1B1C1.
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВС1 и А1В1С параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями АВС1 и А1В1С, если известно, что АС = 1, ВС = 2, АВ = 
СС1 = 3.
Решение. а) Пусть O — точка пересечения A1C и AC1, значит, она лежит в пересечении плоскостей. Проведем через нее прямую, параллельную AB и A1B1. Очевидно, она лежит в обеих плоскостях. Поэтому она-то и есть линия их пересечения. Она параллельна AB, поэтому параллельна плоскости основания призмы.
б) Поскольку 
треугольник ABC — прямоугольный. Введем координаты с началом в точке C и с осями x, y, z, направленными вдоль ребер CA, CB, CC1 соответственно. Тогда координаты точек будут
Уравнение плоскости ABC1 будет 
уравнение плоскости A1B1C будет 
Тогда, если α искомый угол, то 
Ответ 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |