Тип Д19 C7 № 521350 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.
а) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным 
?
б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем ?
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения 
Решение. а) Да, например если в первой группе все единицы и четверки, а во второй — все тройки и двойки.
б) Да, может. Например если в первой группе все единицы, а во второй все остальное, то 
в) Обозначим сумму чисел в первой группе за x, а количество за n. Можно считать, что 
иначе поменяем группы местами. Нужно минимизировать выражение 
Если уменьшить на 1 сумму в первой группе, то выражение изменится на 
при 
Поэтому при известной численности групп выгодно делать сумму в меньшей группе как можно меньше, то есть брать туда все единицы, а если их не хватит — то двойки.
Пусть 
Перенесем тогда двойку из первой группы во вторую. Оба средних уменьшатся, поскольку среднее в первой было меньше двух (все числа не превосходили 2), а во второй наоборот больше двух. Будем повторять эту операцию, пока n не станет равно 5.
Теперь будем переносить единицы. Это не изменит первого среднего, но уменьшит второе.
Поэтому оптимальный пример — когда первая группа состоит из одной единицы, а вторая — из всех остальных чисел.
Тогда 
Ответ: a) да; б) да; в) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: a) да; б) да; в)
521350
a) да; б) да; в)
PDF-версии: