РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521344 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 202

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка конец дроби минус тангенс в квадрате x = 1.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  

$дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка конец дроби минус тангенс в квадрате x = 1 равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус x конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0.$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка конец дроби минус тангенс в квадрате x = 1 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус x конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =0.$

Обозначая $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби ,$ получаем

$2t плюс t в квадрате =0 равносильно совокупность выражений t= минус 2,t=0. конец совокупности .$

Откуда:

$совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = минус 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби =0 конец совокупности . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = минус 2 равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z$

б)   Корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ отберём с помощью тригонометрической окружности. Получим: $минус 3 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521344

а) $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 202

Методы алгебры: Введение замены, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521344	а) $\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$