РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 521266 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 196

Классификатор планиметрии: Треугольники

Сложная планиметрия. Треугольники

Дан квадрат АВСD. На сторонах АВ и ВС внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники АВК и ВСР.

а)  Докажите, что точка Р лежит на прямой DК.

б)  Найдите площадь четырехугольника РКВС, если известно, что АВ  =  2.

Решение. а)  Из равнобедренного треугольника DAK имеем:

$\angle KDA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle DAK правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из равнобедренного треугольника DPC имеем:

$\angle PDC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle DCP правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

поэтому:

$\angle PDA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle KDA.$

Значит, P лежит на прямой $DK.$

б)  Имеем:

$S_BKPC=S_CPB плюс S_PBK= дробь: числитель: BC в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби PB умножить на BK умножить на синус \angle PBK=$

$= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 синус левая круглая скобка \angle ABC минус \angle PBC плюс \angle KBA правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 синус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2.$ $= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 синус левая круглая скобка \angle ABC минус \angle PBC плюс \angle KBA правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 синус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2.$

Ответ: $2 плюс корень из 3 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $2 плюс корень из 3 .$

521266

$2 плюс корень из 3 .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 196

Классификатор планиметрии: Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521266	$2 плюс корень из 3 .$