РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521230 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 191

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Дана последовательность $левая круглая скобка a_n правая круглая скобка : a_n=n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 25.$

а)  Докажите, что при любом натуральном n верно равенство $a_n плюс 2=2a_n плюс 1 минус a_n плюс 2.$

б)  Определите, сколько четырехзначных чисел содержит эта последовательность.

в)  Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными квадратами.

Решение. а)  Подставляя в формулу, получаем:

$левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка плюс 25=2 левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка плюс 25 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 25 правая круглая скобка плюс 2 равносильно$

$равносильно n в квадрате плюс 5n плюс 6 плюс 25=2 левая круглая скобка n в квадрате плюс 3n плюс 2 плюс 25 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n в квадрате плюс n плюс 25 правая круглая скобка плюс 2 равносильно$

$равносильно n в квадрате плюс 5n плюс 31=2n в квадрате плюс 6n плюс 54 минус n в квадрате минус n минус 25 плюс 2.$

Что верно.

б)  Ясно, что последовательность возрастает.

$a_30=30 умножить на 31 плюс 25=955 меньше 1000,$

$a_31=31 умножить на 32 плюс 25=1017 больше 1000,$

$a_99=99 умножить на 100 плюс 25=9925 меньше 10000,$

$a_100=100 умножить на 101 плюс 25=10125 больше 10000,$

поэтому четырехзначными будут a_n при $n принадлежит левая квадратная скобка 31;99 правая квадратная скобка ,$ то есть $99 минус 31 плюс 1=69$ чисел.

в)  Пусть $n в квадрате плюс n плюс 25=a в квадрате .$ Ясно, что $a больше или равно n плюс 1.$ Разберем варианты.

Если $a=n плюс 1,$ получаем $n в квадрате плюс n плюс 25=n в квадрате плюс 2n плюс 1,$ $n=24;$

Если $a=n плюс 2,$ получаем $n в квадрате плюс n плюс 25=n в квадрате плюс 4n плюс 4,$ $n=7;$

Если $a=n плюс 3,$ получаем $n в квадрате плюс n плюс 25=n в квадрате плюс 6n плюс 9,$ $n\not принадлежит N ;$

Если $a=n плюс 4,$ получаем $n в квадрате плюс n плюс 25=n в квадрате плюс 8n плюс 16,$ $n\not принадлежит N ;$

Если $a больше или равно n плюс 5,$ то $a в квадрате больше или равно n в квадрате плюс 10n плюс 25 больше n в квадрате плюс n плюс 25.$

Ответ: б) 69; в) $a_7=81иa_24 = 625.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: б) 69; в) $a_7=81иa_24 = 625.$

521230

б) 69; в) $a_7=81иa_24 = 625.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 191

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521230	б) 69; в) $a_7=81иa_24 = 625.$