РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521217 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 190

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение: $дробь: числитель: синус x минус корень из 3 косинус x минус 2 синус 3x, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус 2x конец аргумента конец дроби = 0.$

б)  Найдите все решения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Преобразуем числитель, приравняв его к нулю:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус 3x.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус 3x.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно$
$равносильно косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби синус x минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби косинус x= синус 3x равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус 3x.$

Значит, либо $x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби =3x плюс 2 Пи k,$ либо $x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = Пи минус 3x плюс 2 Пи k.$ Тогда $x= минус Пи k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби .$

Первая серия не подходит целиком, $синус 2x меньше 0.$

Вторая серия требует, чтобы $синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка$ был положителен. Значит, k четное, $k=2n.$ Тогда $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n.$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521217

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 190

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521217	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n:n принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$