РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521188 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  При каких значениях x числа $синус 2x, 2 косинус x, 4 минус 4 синус x,$ взятые в указанном порядке, являются последовательными членами арифметической прогрессии?

б)  При каких значениях x прогрессия является возрастающей? Найти сумму первых 70 членов прогрессии.

Решение. а)  По свойству прогрессии получаем:

$синус 2x плюс 4 минус 4 синус x=2 умножить на 2 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x плюс 4 минус 4 синус x=4 косинус x.$

Заменим $t= синус x плюс косинус x,$ тогда:

$t в квадрате =1 плюс 2 синус x косинус x,$

поэтому имеем:

$t в квадрате минус 1 плюс 4=4t равносильно t в квадрате минус 4t плюс 3=0 равносильно совокупность выражений t=3,t=1. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 1 плюс 4=4t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 4t плюс 3=0 равносильно совокупность выражений t=3,t=1. конец совокупности .$

Первый случай невозможен, так как $синус x меньше или равно 1,$ $косинус x меньше или равно 1.$ Далее, $синус x плюс косинус x=1$ после возведения в квадрат дает $1 плюс 2 синус x косинус x=1,$ откуда $синус x косинус x=0.$ Перебирая такие точки на круге и проверяя их в уравнении $синус x плюс косинус x=1,$ находим: $x=2 Пи k$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  При $x=2 Пи k$ получаем числа 0, 2, 4  — возрастающая прогрессия. При $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ получаем числа 0, 0, 0  — не является возрастающей прогрессией. Имеем:

$S_70= дробь: числитель: 0 плюс 0 плюс 69 умножить на 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 70=4830.$

Ответ а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ $S_70=4830.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521188

а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ $S_70=4830.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521188	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ $S_70=4830.$