РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521187 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

а)  Найти количество натуральных делителей числа $N=5 в степени 7 умножить на 7 в степени 5$

б)  Доказать, что число $M = 5 в степени 7 умножить на 7 в степени 5 плюс 1$ является составным.

в)  Натуральное число X имеет в качестве простых делителей 5, 7. Найти все такие x, y которых удесятеренное число натуральных делителей равно сумме количеств натуральных делителей чисел $x в квадрате иx в кубе .$

Решение. а)  Все делители этого числа имеют вид $5 в степени x 7 в степени y ,$ где $x принадлежит левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка ,$ $y принадлежит левая квадратная скобка 0,5 правая квадратная скобка$ и степени выбираются независимо, поэтому всего есть $48$ вариантов их выбрать.

б)  Очевидно это четное число (поэтому делится на 2) и больше двух. Значит, оно составное.

в)  Пусть $x=5 в степени a умножить на 7 в степени b .$ По соображениям, аналогичным п. а), находим, что число делителей x равно $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка .$ Имеем: $x в квадрате =5 в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка 2b правая круглая скобка ,$ это уравнение имеет $левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2b плюс 1 правая круглая скобка$ делителей. Аналогично $x в кубе$ имеет $левая круглая скобка 3a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b плюс 1 правая круглая скобка$ делителей. По условию имеем:

$10 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка 2b плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b плюс 1 правая круглая скобка .$ $10 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка 2b плюс 1 правая круглая скобка плюс$
$плюс левая круглая скобка 3a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b плюс 1 правая круглая скобка .$

Упрощаем:

$10ab плюс 10a плюс 10b плюс 10=4ab плюс 2a плюс 2b плюс 1 плюс 9ab плюс 3a плюс 3b плюс 1 равносильно$

$равносильно 3ab минус 5a минус 5b минус 8=0 равносильно 9ab минус 15a минус 15b минус 24=0 равносильно$ $равносильно 3ab минус 5a минус 5b минус 8=0 равносильно$
$равносильно 9ab минус 15a минус 15b минус 24=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 3a минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b минус 5 правая круглая скобка минус 49=0 равносильно левая круглая скобка 3a минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b минус 5 правая круглая скобка =49.$ $равносильно левая круглая скобка 3a минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b минус 5 правая круглая скобка минус 49=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3a минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3b минус 5 правая круглая скобка =49.$

Значит, эти множители либо $левая круглая скобка 7;7 правая круглая скобка ,$ либо $левая круглая скобка минус 7; минус 7 правая круглая скобка ,$ либо $левая круглая скобка 1;49 правая круглая скобка$ в каком-то порядке, либо $левая круглая скобка минус 1; минус 49 правая круглая скобка$ в каком-то порядке. Отрицательные невозможны, поскольку $3a минус 5 больше или равно минус 5 больше минус 7.$ Вариант $левая круглая скобка 7;7 правая круглая скобка$ дает $a=b=4,$ а вариант $левая круглая скобка 1;49 правая круглая скобка$ дает $a=2, b=18$ или наоборот.

Ответ: а) $48$ в) $5 в степени 4 умножить на 7 в степени 4 ,$ $5 в квадрате умножить на 7 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка ,$ $5 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

521187

а) $48$ в) $5 в степени 4 умножить на 7 в степени 4 ,$ $5 в квадрате умножить на 7 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка ,$ $5 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521187	а) $48$ в) $5 в степени 4 умножить на 7 в степени 4 ,$ $5 в квадрате умножить на 7 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка ,$ $5 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 7 в квадрате .$