РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 521179 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 184

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

При каждом значении параметра «a» решить неравенство

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x минус 3 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 x, знаменатель: |x минус 2| минус a конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Сразу ясно, что $4x минус 3 больше 0,$ то есть $x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ Кроме того, $|x минус 2| не равно a.$ При таких x рационализируем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус a конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4x минус 3 минус x в квадрате , знаменатель: |x минус 2| минус a конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| минус a конец дроби меньше или равно 0.$

Числитель положителен при $x больше 3$ или $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка$ и отрицателен при $x принадлежит левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка .$ Знаменатель при отрицательных a положителен всегда, при $a=0$ положителен всегда кроме $x=2$ (там неравенство не определено), при положительных a отрицателен на интервале $левая круглая скобка 2 минус a; a плюс 2 правая круглая скобка$ и положителен при $x меньше a минус 2$ или $x больше a плюс 2.$ Тем самым нужно сравнивать $x=a\pm 2$ с $x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x=1$ и $x=3.$ Получаем такие варианты:

При $a меньше 0$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка ;$

При $a=0$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка ;$

При $a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ имеем: $1 меньше 2 минус a меньше 2 плюс a меньше 3,$ поэтому ответ $x принадлежит левая круглая скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 плюс a;3 правая круглая скобка$ (предыдущий случай можно будет объединить с этим);

При $a=1$ имеем $1=2 минус a, 2 плюс a=3$ и знаки числителя и знаменателя одинаковы всегда, решений нет;

При $a принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ имеем $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше 2 минус a меньше 1 меньше 3 меньше 2 плюс a,$ откуда ответ $x принадлежит левая круглая скобка 2 минус a;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка ;$

При $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ имеем $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =2 минус a меньше 1 меньше 3 меньше 2 плюс a,$ ответ такой же;

При $a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ имеем $2 минус a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше 1 меньше 3 меньше 2 плюс a,$ $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка .$

Ответ: При $a меньше 0$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка ;$ при $a принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 плюс a;3 правая квадратная скобка ;$ при $a=1$ решений нет; при $a принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка 2 минус a;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка ;$ при $a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

521179

При $a меньше 0$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка ;$ при $a принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 плюс a;3 правая квадратная скобка ;$ при $a=1$ решений нет; при $a принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка 2 минус a;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка ;$ при $a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 184

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521179	При $a меньше 0$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка ;$ при $a принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ ответ $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 минус a правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 плюс a;3 правая квадратная скобка ;$ при $a=1$ решений нет; при $a принадлежит левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка 2 минус a;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка ;$ при $a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ ответ $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;2 плюс a правая круглая скобка .$