РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521151 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 181

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

а)  Найти натуральное число n такое, чтобы сумма $1 плюс 2 плюс 3 плюс … плюс n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б)  Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Решение. а)  Число, состоящее из одинаковых цифр, всегда кратно $37$ ( $\overlineaaa=a умножить на 111=a умножить на 3 умножить на 37$ ). Сумма чисел равна:

$1 плюс 2 плюс \ldots плюс n= дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

поэтому n или $n плюс 1$ делится на 37. При этом $1 плюс 2 плюс \ldots плюс 49=1225,$ поэтому $n меньше 49.$ Проверяя $n=36$ и $n=37$ выясняем, что первое подходит, сумма будет $666$ и это единственный пример.

б)  Пусть первое число a и разность прогрессии $d.$ Тогда:

$a плюс a плюс d плюс a плюс 2d плюс a плюс 3d=1 равносильно 4a плюс 6d=1 равносильно a= дробь: числитель: 1 минус 6d, знаменатель: 4 конец дроби .$

$a в кубе плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 3d правая круглая скобка в кубе =4a в кубе плюс 18a в квадрате d плюс 42ad в квадрате плюс 36d в кубе =$

$= левая круглая скобка 4a плюс 6d правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 3ad плюс 6d в квадрате правая круглая скобка =a в квадрате плюс 3ad плюс 6d в квадрате =$

$= дробь: числитель: 1 минус 12d плюс 36d в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 3d минус 18d в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс 6d в квадрате = дробь: числитель: 60d в квадрате плюс 1, знаменатель: 16 конец дроби =0,1,$

откуда $d в квадрате =0,01 равносильно d=0,1,$ $a=0,1$ (или $d= минус 0,1,$ $a=0,4,$ но это та же самая прогрессия, записанная наоборот).

Ответ: а) 36; б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или 0,4; 0,3; 0,2; 0,1.

Комментарий к пункту а). Не очень понятно, просят нас найти одно такое число или все. Если просят только одно - достаточно было бы привести пример.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 36; б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или 0,4; 0,3; 0,2; 0,1.

521151

а) 36; б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или 0,4; 0,3; 0,2; 0,1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 181

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521151	а) 36; б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или 0,4; 0,3; 0,2; 0,1.