РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

При каких положительных значениях параметра a уравнение

$||2x| минус 4| = |x в квадрате минус a|.$

имеет ровно 4 решения?

Решение. Если заменить x на $минус x,$ уравнение никак не изменится. Поэтому будем считать, что x положительно, а корней должно быть два ( $x=0$   — единственный корень, образующий пару сам с собой, поэтому если он действительно корень, то корней нечетное количество, это нам не подходит.) Получаем уравнение:

$|2x минус 4|=|x в квадрате минус a| равносильно левая круглая скобка 2x минус 4 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 4 минус a правая круглая скобка =0.$ $|2x минус 4|=|x в квадрате минус a| равносильно левая круглая скобка 2x минус 4 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 4 минус a правая круглая скобка =0.$

Выясним количество положительных корней уравнений $x в квадрате минус 2x плюс 4=a$ и $x в квадрате плюс 2x минус 4=a.$

Графиком трехчлена $x в квадрате минус 2x плюс 4$ будет парабола с вершиной в точке $левая круглая скобка 1,3 правая круглая скобка .$ Поэтому при $a=3$ будет единственный корень $x=1,$ при $a=4$ будут корни $0$ и $2,$ при $a больше 4$ один из корней отрицателен, а другой положителен. Итак, количество положительных корней: $1$ при $a принадлежит левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; бесконечность правая круглая скобка ,$ $2$ при $a принадлежит левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка$

Графиком трехчлена $x в квадрате плюс 2x минус 4$ будет парабола с вершиной в точке $левая круглая скобка минус 1, минус 5 правая круглая скобка .$ Поэтому при $x больше 0$ функция $x в квадрате плюс 2x минус 4$ будет возрастать и принимать значения на промежутке $левая круглая скобка минус 4; бесконечность правая круглая скобка$ по одному разу ( $минус 4=f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка$ ). Итак, количество положительных корней: $1$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; бесконечность правая круглая скобка$

Корни этих трехчленов будут совпадать, если

$x в квадрате минус 2x плюс 4=x в квадрате плюс 2x минус 4,$

то есть если $x=2.$ Тогда $a=4,$ Значит, при этом a не два корня, как могло бы показаться, а один. В ответ его включать не надо. Поэтому всего два корня будет при $a принадлежит левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$ Заметим, что условие положительности a нам не пригодилось.

Ответ: $левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521150	$левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ