РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 521148 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 181

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники

Сложная планиметрия. Треугольники

В треугольнике ABC стороны $AB:BC:AC=3:4:5.$ Первая окружность вписана в треугольник АВС, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

а)  Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2 : 1.

б)  Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если АС  =  15.

Решение. а)  Пусть стороны треугольника $AB=3x,$ $BC=4x,$ $AC=5x.$ По обратной теореме Пифагора он прямоугольный, поэтому его площадь $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3x умножить на 4x=6x в квадрате ,$ полупериметр $6x.$ По формулам для радиусов вписанной и вневписанной окружности находим $r= дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби =x,$ $r_AB= дробь: числитель: S, знаменатель: p минус AB конец дроби =2x,$ что и требовалось доказать.

б)  По формуле для отрезков от вершины до точки касания с вписанной или вневписанной окружностью имеем:

$QP=AB минус AQ минус BP=$
$=3x минус левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка минус левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка =3x минус x минус x=x.$ $QP=AB минус AQ минус BP=$
$=3x минус левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка минус левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка =$
$=3x минус x минус x=x.$

Поскольку $5x=15,$ $x=3.$

Ответ: 3.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: 3.

521148

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 181

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521148	3.