РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521110 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

Дано уравнение $синус 2x = 3 левая круглая скобка синус x плюс косинус x минус 1 правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 1,5;6 правая квадратная скобка .$

Решение. Запишем уравнение в виде:

$левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате минус 1=3 левая круглая скобка синус x плюс косинус x минус 1 правая круглая скобка .$

Обозначив $t= синус x плюс косинус x,$ имеем:

$t в квадрате минус 1=3t минус 3 равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений t=1,t=2. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 1=3t минус 3 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений t=1,t=2. конец совокупности .$

Второй случай невозможен, поскольку $синус x$ и $косинус x$ не больше $1$ и не равны ей одновременно. Далее, $синус x плюс косинус x=1$ после возведения в квадрат дает $1 плюс 2 синус x косинус x=1,$ откуда $синус x косинус x=0.$ Перебирая такие точки на круге и проверяя их в уравнении $синус x плюс косинус x=1,$ находим $x=2 Пи k$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,$ где $k принадлежит Z .$

б)  Поскольку $0 меньше 1,5 меньше 6 меньше 2 Пи$ и $1,5 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 6 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи ,$ подходит только $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521110

а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521110	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$