РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521096 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 175

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сложная стереометрия. Многогранники

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны между собой. Точка К  — середина ребра $CC_1.$

а)  Докажите, что прямые $AB_1 и BK$ перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и BK, если ребро призмы равно 6.

Решение. а)  Отметим на продолжении CC₁ за точку C₁ точку K₁ так, чтобы $C_1K_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CC_1.$ Тогда BK параллелен B₁K₁. Осталось доказать, что $\angle AB_1K_1=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Пусть $AB=AA_1=2a.$ Тогда:

$AB_1= корень из: начало аргумента: 4a в квадрате плюс 4a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента ,$

$B_1K_1=BK= корень из: начало аргумента: 4a в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$

$AK_1= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CK_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4a в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ $AK_1= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CK_1 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 4a в квадрате плюс 9a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Значит, в треугольнике AB₁K₁ выполняется равенство $AB_1 в квадрате плюс B_1K_1 в квадрате =AK_1 в квадрате$ и треугольник прямоугольный.

б)  Теперь найдём расстояние между прямыми AB₁ и BK:

$d левая круглая скобка BK,AB_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка BK,AB_1K правая круглая скобка =d левая круглая скобка B, AB_1K_1 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3V_AB_1K_1B, знаменатель: S_AB_1K_1 конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка K_1, ABB_1 правая круглая скобка S_ABB_1, знаменатель: S_AB_1K_1 конец дроби =$ $d левая круглая скобка BK,AB_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка BK,AB_1K правая круглая скобка =$
$=d левая круглая скобка B, AB_1K_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_AB_1K_1B, знаменатель: S_AB_1K_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: d левая круглая скобка K_1, ABB_1 правая круглая скобка S_ABB_1, знаменатель: S_AB_1K_1 конец дроби =$

$= дробь: числитель: d левая круглая скобка C, ABB_1 правая круглая скобка умножить на 2S_ABB_1, знаменатель: 2S_AB_1K_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: d левая круглая скобка C, AB правая круглая скобка умножить на AB умножить на BB_1, знаменатель: AB_1 умножить на B_1K_1 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 6 умножить на 6, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$ $= дробь: числитель: d левая круглая скобка C, ABB_1 правая круглая скобка умножить на 2S_ABB_1, знаменатель: 2S_AB_1K_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: d левая круглая скобка C, AB правая круглая скобка умножить на AB умножить на BB_1, знаменатель: AB_1 умножить на B_1K_1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 6 умножить на 6, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 3 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: б) $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

521096

б) $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 175

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521096	б) $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$