PDF-версии: 
Уравнение 
с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.
Решение. Пусть его корни 
По теореме Виета их произведение равно 
Значит, возможные значения для 
0, −1, −2.
При 
имеем: 
Тогда 
и есть совпадающие корни.
При 
имеем: 
Тогда 
Их сумма равна 
поэтому синус и косинус должны быть противоположны (иначе 
нецелое). Итак, корни равны 
и 
(синус и косинус разных знаков, поэтому не 1), и уравнение имеет вид 
Значит, 
При 
имеем: 
Тогда 
а 
не определен, такая ситуация невозможна.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |