Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе №1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся 42n , а после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в школу №2 сум­мар­ный балл стал рав­нять­ся 52,5(n − 1). Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на 10,5(5 − n). Это число долж­но быть на­ту­раль­ным, по­сколь­ку рав­ня­ет­ся ко­ли­че­ству бал­лов пе­ре­шед­ше­го в школу №2 уча­ще­го­ся. Зна­чит, этот уча­щий­ся на­брал 21 балл и n  =  3.

б)  В школе №1 тест пи­са­ли 3 уча­щих­ся, один из ко­то­рых на­брал 21 бал­лов. При этом сум­мар­но они на­бра­ли 126 бал­лов. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов у уча­ще­го­ся с луч­шим ре­зуль­та­том могло быть тогда, когда сумма

бал­лов осталь­ных двух уча­щих­ся была наи­мень­шей, то есть когда они на­бра­ли 1 и 21 бал­лов. В этом слу­чае наи­боль­ший балл равен 104.

в)  Пусть в школе №2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, а сред­ний балл рав­нял­ся B. Тогда по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, число 84 долж­но де­лить­ся на m + 5. При этом m + 5 > 15, по­сколь­ку m > 10. Число 84 имеет 4 де­ли­те­ля, боль­ших 15: 21, 28, 42 и 84. Зна­чит, m + 5 ≥ 21, от­ку­да m ≥ 16.

По­ка­жем, что число m может рав­нять­ся 16. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе №1 пи­са­ли тест 3 уча­щих­ся, один уча­щий­ся на­брал 21 балл, один уча­щий­ся на­брал 63 баллa и один уча­щий­ся на­брал 42 бал­лов, в школе №2 пи­са­ли тест 16 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 4 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 21 балл.

Ответ: а) 3; б) 104; в) 16.