Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест n уча­щих­ся. Тогда сум­мар­ный балл всех уча­щих­ся этой школы рав­нял­ся 18n, а после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в школу № 2 сум­мар­ный балл стал рав­нять­ся 19,8(n − 1). Таким об­ра­зом, сум­мар­ный балл умень­шил­ся на 1,8(11 − n). Это число долж­но быть на­ту­раль­ным, по­сколь­ку рав­ня­ет­ся ко­ли­че­ству бал­лов пе­ре­шед­ше­го в школу № 2 уча­ще­го­ся. Зна­чит, этот уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов и n  =  6.

б)  В школе № 1 тест пи­са­ли 6 уча­щих­ся, один из ко­то­рых на­брал 9 бал­лов. При этом сум­мар­но они на­бра­ли 108 бал­лов. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов у уча­ще­го­ся с луч­шим ре­зуль­та­том могло быть тогда, когда сумма бал­лов осталь­ных пяти уча­щих­ся была наи­мень­шей, то есть когда они на­бра­ли 1, 2, 3, 4 и 9 бал­лов. В этом слу­чае наи­боль­ший балл равен 89.

в)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, а сред­ний балл рав­нял­ся B. Тогда по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом, число 90 долж­но де­лить­ся на m + 11. При этом m + 11 > 21, по­сколь­ку m > 10. Число 90 имеет 3 де­ли­те­ля, боль­ших 21: 30, 45 и 90. Зна­чит, m + 11 ≥ 30, от­ку­да m ≥ 19.

По­ка­жем, что число m может рав­нять­ся 19. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, один уча­щий­ся на­брал 9 бал­лов, один уча­щий­ся на­брал 27 бал­лов и 4 уча­щих­ся на­бра­ли по 18 бал­лов, в школе № 2 пи­са­ли тест 19 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 3 балла, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 9 бал­лов.

Ответ: а)  6; б)  89; в)  19.